Решение задач из ЦТ по физике за 2013 г.

Подписывайтесь на нашу группу ВКонтакте https://vk.com/minskstudent

Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей

Вариант 1

Часть В

Задача В1. Тело, которое падало без начальной скорости  с некоторой высоты, за последние три секунды движения прошло путь s = 105 м.. Высота h, с которой тело упало, равна … м.

Решение.

Данная задача является типовой задачей на прямолинейное равноускоренное движение в поле тяжести Земли. Для решения такого вида задач необходимо уметь составлять уравнение равноускоренного движения и четко знать смысл каждого параметра в этом уравнении.

Для составления уравнения движения тела введем систему координат, начало которой свяжем с поверхностью Земли, а ось Oy направим вертикально вверх (см. рис.).

При таком выборе системы координат начальная высота h имеет смысл начальной координаты тела.

Так как начальная скорость тела равна нулю, то уравнение движения тела вдоль оси Oy имеет вид:

. (1)

Пусть t - время падения тела. Это значит, что при подстановке t в уравнение движения координата y должна принять значение 0:

. (2)

Рассмотрим положение тела на расстоянии s от поверхности Земли (этому положению соответствует координата s). Если t - время падения, то в точке с координатой s тело будет в момент времени t - 3, так как по условию задачи именно за последние три секунды падения тело проходит путь s. Значит, если в уравнение (1) подставить момент времени t - 3, то координата y примет значение s:

. (3)

Далее, решение задачи сводится к решению системы уравнений (2) и (3):

.

Неизвестными в этой системе уравнений являются t и h. Все остальные величины известны.

Заметим, что основой для составления полученной системы уравнений является уравнение движения (1). Уравнения (2) и (3) соответствуют различным моментам времени одного и того же процесса, падения тела с высоты h, и получаются из уравнения (1) на основании условия задачи.

Решим полученную систему уравнений:

Решаем второе уравнение системы:

Тогда из первого уравнения системы получаем:

.

Ответ: 125

 

Задача В2. На покоящуюся материальную точку О начинают действовать две силы  и  (см. рис.), причем модуль первой силы . Материальная точка останется в состоянии покоя, если к ней приложить третью силу, модуль которой , равен … Н.

   

 

 

 

Решение.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для точки, на которую действуют три силы:

.

Так как точка должна остаться в покое, то , поэтому

.

Сложим векторы  и , используя правило параллелограмма. Сумму  обозначим через .

Тогда уравнение второго закона Ньютона примет вид:

Таким образом, модуль силы  должен быть равен модулю равнодействующей сил  и , а направлена эта сила должна быть противоположно равнодействующей.

Как видно из рисунка, длина вектора  равна трем клеткам. То есть , так как длина  равна двум клеткам. Таким образом, .

Значит и

Ответ: 9

Задача В3. Цилиндр плавает в керосине  в вертикальном положении (см. рис.). Если масса цилиндра m = 16 кг, то объем V цилиндра равен … .

Решение.

Изобразим все силы действующие, на цилиндр. Это сила тяжести  и выталкивающая сила Архимеда . Под действием этих сил цилиндр находится в равновесии, поэтому на основании второго закона Ньютона можем записать:

Выберем ось системы координат, как показано на рисунке и спроектируем записанное векторное уравнение на ось этой системы:

.

Модуль силы Архимеда зависит от объема погруженной в керосин части цилиндра и равен:

, где  - объем погруженной части цилиндра.

Тогда

Из рисунка видно, что объем цилиндра больше объема его погруженной части в 5/4 раз, так как по высоте весь цилиндр занимает 5 клеток, а погруженная часть 4 клетки.

Тогда объем цилиндра:

Ответ: 25.

 

Задача В4. Два маленьких шарика массами  и  подвешены на невесомых нерастяжимых нитях одинаковой длины l так, что поверхности шариков соприкасаются. Первый шарик сначала отклонили таким образом, что нить составила с вертикалью угол , а затем отпустили без начальной скорости. Если после неупругого столкновения шарики стали двигаться как единое целое и максимальная высота, на которую они поднялись, , то длина l нити равна … см.

Решение.

Решать данную задачу будем, используя законы сохранения энергии и импульса. При использовании этих законов всегда нужно помнить о том, что законы сохранения связывают начальное и конечное состояния системы, поэтому при использовании законов сохранения нужно всегда четко представлять, какие именно состояния системы мы связываем.

В данной системе, состоящей из двух шариков, можно выделить 4 ключевых состояния:

1. Шарик массой  поднят на некоторую высоту h относительно своего начального положения, нить при этом отклоняется на некоторый угол . Скорость обоих шариков равна нулю.

2. Шарик  перед столкновением с шариком . При этом шарик  имеет некоторую скорость , а шарик  еще покоится.

3. Шарики после столкновения. Оба шарика сразу после столкновения движутся как одно целое с некоторой начальной скоростью , одинаковой для обоих шариков.

4. Шарики отклонились на максимальную высоту .

Каждое из этих состояний связано с последующим законами сохранения, однако, в каждом случае нужно четко представлять, какой закон сохранения работает и почему.

Итак, движение системы из состояния 1 в состояние 2 происходит под действием силы тяжести, которая является потенциальной, и под действием силы натяжения нити, которая направлена перпендикулярно траектории движения шарика  и поэтому работы не совершает. Значит, для системы при переходе из состояния 1 в состояние 2 выполняется закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса в этом случае не выполняется, так как на тела системы действуют нескомпенсированные внешние силы.

Полная энергия системы в состоянии 1 равна потенциальной энергии шарика 1:

Полная энергия системы в состоянии 2 равна кинетической энергии шарика 1:

.

На основании закона сохранения энергии:

Начальная высота h, как видно из рисунка, равна:

.

Тогда скорость первого шарика перед столкновением со вторым равна:

.

Далее, при переходе системы из состояния 2 в состояние 3 на тела системы действуют внешние силы: сила тяжести и силы натяжения нитей и внутренние силы реакции, возникающие между шариками при их столкновении. Силы тяжести и натяжения нитей, однако, направлены вертикально, а внутренние силы направлены горизонтально. Таким образом, движение вдоль горизонтального направления в процессе столкновения происходит лишь под действием внутренних сил, а значит, на горизонтальное направление выполняется закон сохранения импульса.

Закон сохранения механической энергии в процессе неупругого столкновения не выполняется, так как часть механической энергии переходит в тепло.

Импульс системы в состоянии 2 равен импульсу шарика 1:

Импульс системы в состоянии 3 равен импульсу двух шариков, которые движутся как одно целое со скоростью u:

.

На основании закона сохранения импульса:

Наконец, при переходе из состояния 3 в состояние 4 выполняется закон сохранения механической энергии:

В полученное уравнение подставляем выражение для u:

Подставляем численные значения:

Ответ: 27.

 

Задача В5. В сосуде вместимостью V = 5.0 л находится идеальный одноатомный газ. Если суммарная кинетическая энергия всех молекул газа , то давление p газа на стенки сосуда равно … кПа.

Решение.

Суммарная кинетическая энергия молекул идеального одноатомного газа есть не что иное, как его внутренняя энергия:

.

С другой стороны, на основании уравнения Менделеева-Клапейрона

.

Тогда

Отсюда давление газа:

Ответ: 80.

 

Задача В6. Микроволновая печь потребляет электрическую мощность . Если коэффициент полезного действия печи , то вода  массой  нагреется от температуры  до температуры  за промежуток времени , равный … с.

Решение.

При решении задач на коэффициент полезного действия у школьников часто возникает следующий вопрос: как определить, что является полезной работой, а что затраченной? Каждая конкретная задача имеет свой ответ на этот вопрос

В нашем случае при нагреве воды в микроволной печи часть подводимой к печи энергии теряется на нагрев проводов, излучения и т.п. Оставшаяся часть идет на нагрев воды. В итоге, механизм энергозатрат в микроволновой печи можно представить так, как показано на рисунке: печь потребляет из сети некоторую энергию , часть из которой  идет на нагрев воды.  - это затраченная энергия,  - полезная энергия.

 

Коэффициент полезного действия, таким образом, в нашем случае равен:

.

Определим энергию, необходимую для нагрева воды от температуры  до температуры :

.

Тогда энергия, потребляемая печью:

.

Если P - это потребляемая печью мощность, а  - промежуток времени, за который печь потребит количество теплоты , то

Подставляем численные значения, не забывая о переводе значений физических величин к единицам системы СИ:

Ответ: 63.

 

Задача В7.  Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого , при изобарном охлаждении отдал количество теплоты . Если при этом объем газа уменьшился в , то начальная температура газа  равна … .

Решение.

Запишем для газа уравнение первого начала термодинамики:

Так как по условию задачи газ отдает количество теплоты , то в записанном уравнении .

Если начальная температура газа , а конечная , то изменение его внутренней энергии:

Пусть  и  - объемы газа в начале и в конце процесса. Тогда

.

Уравнение первого начала термодинамики принимает вид:

.

Здесь  - давление газа, которое остается постоянным, так как процесс изобарный.

На основании условия задачи можем записать:

.

Кроме того, в соответствии с законом Гей-Люссака:

.

Тогда уравнение первого начала термодинамики примет следующий вид:

На основании уравнения Менделеева-Клапейрона имеем:

.

Тогда

Подставляем численные значения:

.

Ответ: 57.

 

Задача В8. .На горизонтальной поверхности Земли стоит человек, возле ног которого лежит маленькое плоское зеркало. Глаза человека находятся на уровне H = 1.73 м от поверхности Земли. Если угол падения солнечных лучей на горизонтальную поверхность , то человек увидит отражение Солнца в зеркале, когда он отойдет от зеркала на расстояние l, равное … дм.

Решение.

Пусть зеркало расположено в точке А. Глаза человека находятся над точкой А на высоте H в некоторой точке В.

Луч Солнца попадает в точку А под углом , как изображено на рисунке. Отражение луча от зеркала происходит под таким же углом (угол падения равен углу отражения). Для того, чтобы увидеть в зеркале отражение солнца человек должен отойти от точки А таким образом, чтобы его глаза оказались в точке С.

Расстояние BС и есть искомое расстояние l.

Из прямоугольного треугольника ABC находим:

​.

Обратите внимание, что ответ необходимо записать именно в дм.

Ответ: 30.

 

Задача В9. Пять одинаковых ламп, соединенных последовательно, подключили к источнику постоянного тока с ЭДС E = 110 B и внутренним сопротивлением r = 2.0 Ом. Если сопротивление одной лампы , то напряжение  на каждой лампе равно … В.

Решение.

Общее сопротивление последовательно соединенных ламп:

.

Сила тока в последовательно соединенных элементах одинакова. Находим ее с помощью закона Ома для полной цепи:

Зная ток в участке цепи и его сопротивление, можно найти напряжение на участке, используя закон Ома для участка цепи. Так как сопротивления всех ламп одинаковы и силы тока в лампах также равны, то и напряжения на всех лампах будут одинаковы и равны

Ответ: 20.

Задача В10. В однородном магнитном поле, модуль магнитной индукции которого B = 0.20 Тл, на двух невесомых нерастяжимых нитях подвешен в горизонтальном положении прямой проводник (см. рис.). Линии индукции магнитного поля горизонтальны и перпендикулярны проводнику. После того как по проводнику пошел ток I = 5.0 A, модуль силы натяжения  каждой нити увеличился в три раза. Если длина проводника l = 0.60 м, то его масса m равна … г.

Решение.

Пусть m - масса проводника.

Определим силы натяжения нитей до включения тока. Для этого изобразим на чертеже все силы, действующие на проводник. Это сила тяжести  и силы натяжения нитей . Силы натяжения обеих нитей предполагаем равными, поскольку нити расположены симметрично относительно центра проводника.

Уравнение равновесия проводника в проекциях на вертикальную ось имеет вид:

.

После включения тока, на проводник, кроме указанных сил, начинает действовать сила Ампера , направление которой определяем по правилу левой руки. Эта сила направлена вертикально вниз. Запишем уравнение второго закона Ньютона после включения тока:

Модуль силы Ампера равен:

.

Тогда

.

Так как после включения тока модуль силы натяжения нити увеличился в 3 раза, то

Ответ: 30.

 

Задача В11. К источнику переменного тока, напряжение на клеммах которого изменяется по гармоническому закону, подключена электрическая плитка, потребляющая мощность P = 410 Вт. Если действующее значение напряжения на плитке , то амплитудное значение силы тока  в цепи равно … А.

Решение.

Тепловую мощность, выделяемую на сопротивлении в цепи переменного тока, можно определить, перемножив действующие значения тока и напряжения на элементе:

.

Отсюда действующее значение силы тока:

.

Амплитудное значение силы тока в  раз больше действующего:

.

Ответ: 20.

 

Задача В12. Маленькая заряженная бусинка массой m = 1.5 г может свободно скользить по оси, проходящей через центр тонкого незакрепленного кольца перпендикулярно его плоскости. По кольцу, масса которого M = 4.5 г и радиус R = 40 см, равномерно распределен заряд Q = 3.0 мкКл. В начальный момент времени кольцо покоилось, а бусинке, находящейся на большом расстоянии от кольца, сообщили скорость, модуль которой . Максимальный заряд бусинки , при котором она сможет пролететь сквозь кольцо, равен … нКл.

Решение.

Попытаемся представить, что будет происходить с системой с течением времени. Так как кольцо и бусинка заряжены одноименно, то между ними действует кулоновская сила отталкивания. Таким образом, приближаясь к кольцу, бусинка замедляется. В то же время, кольцо, наоборот, приобретает некоторую скорость, так как оно не закреплено и имеет конечную массу.

В итоге кольцо как бы начинает убегать от бусинки: скорость кольца нарастает, а скорость бусинки падает. В какой-то момент времени эти скорости сравняются. Если это произойдет до того, как бусинка достигнет центра кольца, то в следующее мгновение скорость кольца еще больше увеличится, а скорость бусинки еще больше уменьшится и до центра кольца бусинка уже не доберется. Значит, бусинка сможет пройти через кольцо лишь в том случае, если ее скорость в центре кольца будет больше, чем скорость самого кольца.

Очевидно, что чем больше заряд бусинки, тем сильнее будет сила отталкивания между кольцом и бусинкой, а значит, при некотором максимальном заряде бусинки  она долетит до центра кольца и именно в этот момент скорости кольца и бусинки будут равны, т.е. бусинка не пролетит сквозь кольцо.

Именно условие равенства скоростей кольца и бусинки в момент достижения последней центра кольца и является математическим условием того, что бусинка не пролетит через кольцо.

Детально рассчитывать процесс движения кольца и бусинки, используя второй закон Ньютона весьма затруднительно, так как кулоновская сила отталкивания в данном случае будет изменяться с изменением расстояния между бусинкой и кольцом.

В таких случаях на выручку, как всегда, приходят законы сохранения импульса и энергии, которые в нашем случае выполняются, так движение системы происходит только под действием кулоновской силы.

В начальный момент времени бусинка обладает импульсом:

и кинетической энергией:

.

Далее рассмотрим момент времени, когда бусинка достигает центра кольца. Пусть в этот момент скорость бусинки равна v, а скорость кольца V.

Импульс системы равен:

.

Энергия системы складывается из кинетической энергии бусинки и кольца:

и потенциальной энергии взаимодействия кольца и бусинки.

Для расчета потенциальной энергии такого взаимодействия разобьем кольцо на большое множество небольших зарядов, каждый из которых можно считать точечным. На рисунке изображены 3 таких заряда. Пусть эти заряды равны .

Энергия взаимодействия бусинки с зарядом  равна:

, с зарядом  -  и т.д.

Значит, для того, чтобы найти полную потенциальную энергия взаимодействия бусинки и кольца нужно сложить все полученные энергии:

.

Сумма зарядов в скобках, очевидно, равна суммарному заряду кольца, т.е. , поэтому:

.

Таким образом, в момент, когда бусинка окажется в центре кольца, полная механическая энергия системы станет равной:

.

На основании закона сохранения импульса

.

На основании закона сохранения энергии:

.

Решим полученную систему уравнений, используя условие равенства скоростей кольца и бусинки: :

.

Из полученного уравнения находим :

Подставляем численные значения:

.

Ответ: 48.