Решение задач из ЦТ по физике за 2015 г.

Подписывайтесь на нашу группу ВКонтакте https://vk.com/7grans и в Facebook https://www.facebook.com/7gran

Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей. Будем очень признательны за ваши отзывы!

Решение задач из теста по физике за 2015 г.

Вариант 1

Часть В

Задача В1. Материальная точка массой m = 2,5 кг движется вдоль оси Ох. График зависимости проекции скорости  материальной точки на эту ось от времени t представлен на рисунке. В момент времени t = 4 c модуль результирующей всех сил F, приложенных к материальной точке, равен … Н.

 

Решение.

Согласно второму закону Ньютона, модуль результирующей всех сил, действующих на тело, равен произведению массы тела на ускорение. Из условия задачи нам известна только масса, а ускорение найдем с помощью графика.

Вспомним, что при движении равноускоренно или равнозамедленно скорость тела зависит от времени по закону:

.

На графике такой зависимости соответствует прямая линия. Значит, в нашем случае в интервале времени от 2 до 5 секунд тело движется с постоянным ускорением. Найдем это ускорение как отношение изменения скорости ко времени, за которое произошло это изменение. Все расчеты производим с помощью графика:

.

Тогда на основании второго закона Ньютона, результирующая все приложенных к телу сил равна:

 Ответ: 5.

 

Задача В2. Тело движется вдоль оси Ox под действием силы . Кинематический закон движения тела имеет вид: , где , , . Если масса тела m = 2.0 кг, то в момент времени t = 2.0 c мгновенная мощность P силы равна … Вт.

 

Решение.

Подставим в уравнение движения численные значения:

.

Такое уравнение описывает зависимость координаты от времени при равноускоренном движении. При этом начальная скорость , а ускорение движения: .

Действующая на тело сила по второму закону Ньютона равна:

.

Запишем зависимость скорости движения тела от времени при равноускоренном движении:

.

Тогда в момент времени t = 2.0 c скорость тела равна:

.

Мгновенная мощность силы, действующей на тело, равна:

.

 Ответ: 80.

 

Задача В3. Трактор, коэффициент полезного действия которого , при вспашке горизонтального участка поля равномерно движется со скоростью, модуль которой . Если за промежуток времени  было израсходовано топлива массой , то модуль силы тяги F трактора равен …кН.

 

Решение.

При сгорании топлива выделяется энергия:

Часть  этой энергии  идет на совершение трактором работы:

Мощность трактора – это работа, совершенная за единицу времени:

.

Так как трактор движется равномерно, то мощность можно представим как произведение силы тяги на скорость трактора:

.

Отсюда выражаем силу тяги:

.

Подставляем численные значения.

Предварительно учтем, что

Тогда

 (округляем до целого для записи ответа).

 Ответ: 15.

 

Задача В4. К тележке массой  прикреплена невесомая пружина жёсткостью . Тележка, двигаясь без трения по горизонтальной плоскости, сталкивается с вертикальной стеной (см. рис.). От момента соприкосновения пружины со стеной до момента остановки тележки пройдёт промежуток времени , равный …мс.

 

Решение.

В тот момент, когда пружина касается стенки, она начинает сжиматься и на тележку действует сила упругости, под действием которой движение тележки замедляется. Движение тележки от момента соприкосновения пружины со стенкой аналогично движению пружинного маятника из положения равновесия, когда пружина не растянута, а прикрепленному к пружине телу сообщают некоторую скорость.

Как известно, тело, прикрепленное к пружине, совершает гармонические колебания с периодом:

.

С момента, когда пружина не сжата, до момента максимального сжатия проходит четверть периода. Таким образом, искомое время:

 Ответ: 55.

 

Задача В5. По трубе со средней скоростью  перекачивают идеальный газ , находящийся под давлением p=414 кПа при температуре T=296 К. Если газ массой m=60 кг проходит через поперечное сечение трубы за промежуток времени , то площадь S поперечного сечения трубы равна ….

 

Решение.

Рассмотрим движение газа по трубе (см. рис.). Если  - средняя скорость движения газа, а за время  через поперечное сечение проходит порция газа массой m и объёмом V, то длина этой порции газа равна 

Пусть S – площадь сечения трубы, тогда объем прошедшей порции газа:

.

С другой стороны, так как газ идеальный и находится при постоянном давлении p, то для газа выполняется уравнение Менделеева-Клапейрона:

Тогда

Подставим численные значения, учитывая, что 

 Ответ: 15.

Задача В6. На рисунке приведён график зависимости температуры t тела  от времени . Если к телу ежесекундно подводилось количество теплоты , то масса m тела равна …г.

 

Решение.

При решении задачи пренебрежём переходными процессами, происходящими при подводе к телу теплоты, и будем считать, что температура при подводе теплоты устанавливается мгновенно.

Пусть к телу подвели количество теплоты . Это приведёт к повышению температуры тела:

где m – масса тела.

Так как теплота  подводится ежесекундно, то найденное значение  - это повышение температуры тела за секунду, или иными словами – скорость изменения температуры тела. Эту скорость можно найти из приведенного в условии задачи графика. Из этого графика следует, что за время  температура тела повысилась на  Тогда

.

Составляем уравнение:

 

Ответ: 27.

 

Задача В7. Цилиндрический сосуд с идеальным одноатомным газом, закрытый невесомым легкоподвижным поршнем с площадью поперечного сечения , находится в воздухе, давление которого . Когда газу медленно сообщили некоторое количество теплоты, его внутренняя энергия увеличилась на , а поршень сместился на расстояние , равное …мм.

 

Решение.

Так как поршень невесомый, то после установления равновесия давление газа внутри сосуда всегда равно давлению воздуха снаружи, иначе бы возникла разность давлений, которая бы двигала поршень. Так как давление воздуха постоянно, то процесс, происходящий с газом в сосуде, является изобарным.

Пусть в результате сообщения газу некоторого количества теплоты его температура увеличилась с  до , а объем с  до . Тогда изменение внутренней энергии газа:

, где  - количество вещества газа.

Работа, совершённая газом, равна:

 (давление постоянно, так как процесс изобарный).

На основании уравнения Менделеева-Клапейрона для двух состояний газа (до сообщения теплоты и после) можем записать:

Тогда работа равна:

.

Зная работу, совершённую газом при изобарном процессе, и давление, при котором совершалась эта работа, можем найти изменение объёма газа:

.

Тогда расстояние, на которое сместился поршень, равно:

.

Подставляем численные значения:

.

 Ответ: 250.

 

Задача В8. В хранилище поступили отходы, содержащие радиоактивный цезий , период полураспада которого . Если через промежуток времени  в отходах останется  радиоактивного цезия, то масса  поступившего в хранилище цезия равна …г.

 

Решение.

Период полураспада – это промежуток времени, за который распадается половина ядер радиоактивного вещества. В интервале времени  - 3 периода полураспада цезия, значит, если изначальная масса радиоактивного цезия , то после трёх периодов полураспада масса цезия станет равной:

.

Отсюда находим массу поступившего в хранилище цезия:

.

 Ответ: 64.

 

Задача В9. Электрическая цепь состоит из источника постоянного тока с ЭДС E = 120 B и с внутренним сопротивлением r = 2.0 Ом, конденсатора ёмкостью С = 0.60 мкФ и двух резисторов (см. рис.). Если сопротивления резисторов , то заряд q конденсатора равен …мкКл.

 

Решение.

При включении цепи некоторое время требуется для зарядки конденсатора. После того, как конденсатор зарядился, ток через него не идет, а значит, конденсатор никак не влияет на распределение токов в цепи.

Изобразим указанную электрическую цепь без конденсатора и найдём ток, который течёт по цепи.

Внешнее сопротивление цепи:

 (резисторы 1 и 2 соединены последовательно).

Ток в цепи находим по закону Ома для полной цепи:

Вычислим напряжение на резисторе . На основании закона Ома для участка цепи получаем:

.

Теперь рассмотрим цепь с конденсатором. Добавление конденсатора, как уже было указано выше, не изменит ток в цепи и напряжение на резисторе . Так как конденсатор соединён параллельно с резистором , то напряжение на конденсаторе равно .

Тогда заряд конденсатора:

.

Подставляем численные значения:

.

 Ответ: 30.

 

Задача В10. В однородном магнитном поле, модуль магнитной индукции которого В=0.20 Тл, на двух одинаковых невесомых пружинах жёсткостью  подвешен в горизонтальном положении прямой однородный проводник длиной L=1.0 м (см. рис.). Линии магнитной индукции горизонтальны и перпендикулярны проводнику. Если при отсутствии тока в проводнике длина каждой пружины была , то после того, как по проводнику пошёл ток I=40 А, длина каждой пружины  в равновесном положении стала равной …см.

 

Решение.

Рассмотрим равновесие проводника в отсутствие тока.

Пусть m – масса проводника. На проводник действует сила тяжести  и две одинаковые силы упругости пружин,  (пружины по условию одинаковы и их длины равны, значит, силы упругости также будут равны). Так как проводник находится в равновесии, то уравнение второго закона Ньютона для проводника в проекциях на ось Oy имеет вид:

.

Согласно закону Гука, сила упругости пружины пропорциональна ее удлинению:

, где  - длина пружины в нерастянутом состоянии.

Тогда уравнение второго закона Ньютона принимает вид:

После включения тока на проводник также начинает действовать сила Ампера, которая, в соответствие с правилом левой руки, направлена вниз (см. рис.). Пружины при этом растянутся еще больше, пока система не придет в равновесие. Пусть  - новая длина пружин, тогда второй закон Ньютона для проводника принимает вид:

.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле:

, где  - угол между током  и вектором .

В нашем случае , поэтому .

Получаем систему уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставляем численные значения:

 Ответ: 25.

 

Задача В11. Электрический нагреватель подключён к электрической сети, напряжение в которой изменяется по гармоническому закону. Амплитудное значение напряжения в сети . Если действующее значение силы тока в цепи , то нагреватель потребляет мощность Р, равную …Вт.

 

Решение.

Мощность, потребляемую в цепи переменного тока, можно рассчитать по формуле:

, где  - действующие значения тока и напряжения в цепи.

Действующее значение напряжения в  раз меньше амплитудного, поэтому

 

Ответ: 29.

 

Задача В12. Две вертикальные однородно заряженные непроводящие пластины расположены в вакууме на расстоянии d = 70.0 мм друг от друга. Между пластинами на длинной лёгкой нерастяжимой нити подвешен небольшой заряженный  шарик массой m = 630 мг, который движется, поочередно ударяясь о пластины. При ударе о каждую из пластин шарик теряет  своей кинетической энергии. В момент каждого удара шарик перезаряжают, и знак его заряда изменяется на противоположный. Если модуль напряжённости однородного электростатического поля между пластинами , то период T ударов шарика об одну из пластин равен …мс.

 

Решение.

Проанализируем движение шарика. Так как нить длинная, то роль нити в движении сводится лишь к компенсации силы тяжести, а шарик можно считать движущимся по горизонтали от пластины к пластине.

Рассмотрим шарик в тот момент, когда он только отскочил от левой пластины. В этот момент заряд шарика имеет тот же знак, что и заряд пластины (пусть для определенности это будет +), а значит, шарик отталкивается от левой пластины и притягивается к правой. При достижении правой пластины шарик снова меняет знак заряда и начинает притягиваться к левой пластине и отталкиваться от правой, то есть движется в обратную сторону. Так и происходят колебания шарика.

Рассмотрим процесс более подробно.

Пусть в некоторый момент времени при отскоке от левой пластины шарик обладает некоторой скоростью  и кинетической энергией . При движении шарика к правой пластине электростатическое поле совершает над шариком работу: . Согласно теореме об изменении кинетической энергии, эта работа идет на увеличение кинетической энергии, а значит, перед столкновением с правой пластиной кинетическая энергия шарика станет равной:

.

После удара о пластину энергия шарика уменьшится на . Значит, после столкновения с правой пластиной энергия шарика станет равной:

.

Из полученного выражения видно, что после столкновения энергия шарика изменяется по сравнению с изначальной энергией, которой обладал шарик при отлете от предыдущей пластины. Это изменение происходит за счет двух факторов: с одной стороны, работа сил электростатического поля увеличивает энергию, а с другой – при ударе шарика о пластину энергия уменьшается за счет потерь. Давайте определим итоговый результат этого изменения (увеличится энергия или уменьшится). Для этого найдем разность :

Эта разность будет положительной, если

и отрицательной, если:

.

Получается интересная ситуация: если в какой-то момент кинетическая энергия шарика достаточно мала, то после следующего отскока кинетическая энергия увеличится (работа сил электростатического поля будет больше энергии, потерянной при ударе). И наоборот, если энергия шарика велика, то после следующего отскока энергия уменьшается.

Таким образом, энергия шарика не может постоянно расти, так как рано или поздно превысит  и начнёт уменьшаться. Точно так же энергия шарика не может постоянно уменьшаться, так как рано или поздно она станет меньше  и начнёт расти. Это значит, что рано или поздно шарик придет в равновесие, и при отскоке от любой из пластин всегда будет иметь энергию, равную .

Для любителей точных математических выкладок приведём строгое доказательство последнего утверждения.

Как было показано выше, после первого удара о пластину энергия шарика равна

Тогда после второго удара:

Продолжая ту же логику, можно записать, что после  удара кинетическая энергия шарика будет равна:

При большом количестве ударов (в теории, после бесконечного количества) первое слагаемое  стремится к нулю, так как множитель  и чем в большую степень мы его возводим, тем меньше становится слагаемое.

Все остальные слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой , а знаменатель .

Сумма этой бесконечно убывающей прогрессии:

.

Таким образом, мы доказали, что через определенное время состояние шарика будет равновесным в том смысле, что энергия при любом отскоке шарика от пластины будет всегда одна и та же, равная .

Интересно отметить, что эта энергия зависит лишь от свойств системы и не зависит от того, с какой скоростью и из какой точки шарик начал свое движение.

Так как , то при каждом отскоке шарик будет иметь скорость:

.

После отскока шарик движется по горизонтали под действием постоянной кулоновской силы . Тогда по второму закону Ньютона движение шарика после удара о пластину будет равноускоренным с ускорением:

.

Тогда расстояние, проходимое шариком за некоторое время t, равно:

.

Определим время, за которое шарик пройдет расстояние между пластинами d:

Полученное квадратное уравнение решаем через дискриминант:

.

Тогда корни уравнения:

.

Из двух корней нужно взять корень с +1, так как время должно быть положительным. Тогда

.

Это время, за которое шарик пролетит от одной пластины до другой. На возврат к первой пластине потребуется столько же времени. Значит, период T ударов шарика об одну и ту же пластину равен:

.

 Ответ: 700.