Решение задач из ЦТ по математике за 2016 г.

Подписывайтесь на нашу группу ВКонтакте https://vk.com/7grans и в Facebook https://www.facebook.com/7gran

Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей

Вариант 1

Часть В

Задача В1. Для покраски стен общей площадью 175 м² планируется закупка краски. Объем и стоимость банок с краской приведены в таблице.

Объем банки (в литрах)	Стоимость банки с краской (в рублях)
2,5	75 000
10	270 000

Какую минимальную сумму (в рублях) потратят на покупку необходимого количества краски, если ее расход составляет 0,2 л/м²?

 

Решение.

Так как на 1 м² уходит 0,2 л краски, то на 175 м² потребуется объем краски, равный 175·0.2 = 35 л.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти минимальную цену закупки 35 или более литров краски.

Определим стоимость 1 л краски в каждой из банок.

Цена литра в банке объемом 2.5 л равна: 75 000:2.5 = 30 000 руб., а цена литра в банке объемом 10 л равна 270 000:10 = 2 700 руб.

Так как в больших банках краска дешевле, то целесообразно набрать 35 л краски, используя только большие банки. Однако точно 35 л с помощью больших банок не наберешь, так как каждая из банок имеет объем 10 л. Здесь есть два варианта:

1. Покупаем 4 банки краски по 10 л. В итоге, имеем 40 л краски, что превышает нужные нам 35 литров. Цена краски в этом случае: 270 000·4 = 1 080 000 руб.

2. Покупаем 3 банки краски по 10 л и 2 банки краски по 2.5 л. В итоге у нас точно 35 л краски. Цена краски в этом случае: 3·270 000 + 2·75 000 = .960 000 руб.

Так как второй вариант дешевле первого, то минимальная сумма, необходимая для покупки нужного количества краски, равна 960 000 руб.

 

Ответ: 960 000.

 

Есть вопросы или комментарии к решению задачи? Задай их автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В2. Найдите сумму корней (корень, еcли он единственный) уравнения

.

 

Решение.

Сначала заметим, что возведение обеих частей уравнения в квадрат – не очень хорошая идея в данном задании, так как в результате получим уравнение 4 степени, которое в общем случае не решается

В таких ситуациях следует искать обходные пути решения.

Для начала определим ОДЗ уравнения:

Далее, преобразуем исходное уравнение:

Полученное уравнение эквивалентно системе:

Замечание. Первое неравенство системы необходимо для того, чтобы избежать появления лишних корней: если мы просто возведем в квадрат обе части, то к корням уравнения  добавятся еще и корни уравнения .

Итак, решаем уравнение из записанной системы:

Очевидно, неравенству из системы удовлетворяет только второй из найденных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет лишь один корень, равный 9.

 

Ответ: 9.

 

 

Задача В3. В равнобедренную трапецию, площадь которой равна , вписана окружность. Сумма двух углов трапеции равна 60°. Найдите периметр трапеции.

 

Решение.

Пусть ABCD – заданная трапеция.

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании трапеции равны:

.

По условию, сумма двух углов трапеции равна 60°. Очевидно, речь идет о двух острых углах, так как 60° < 90°, значит, в наших обозначениях речь идет как раз об углах BAD и CDA. Так как они равны, а их сумма равна 60°, то каждый из них равен 30°.

Как известно, не в каждую трапецию (и не в каждую равнобедренную трапецию) можно вписать окружность, значит, тот факт, что в нашу трапецию вписана окружность, дает нам некоторую дополнительную информацию. Окружность можно вписать только в такую трапецию, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон. В нашем случае должно быть:

.

Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Обозначим боковые стороны через x.

Тогда получаем

где MN – средняя линия трапеции.

Высоту трапеции ВК также выразим через x. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABK.

.

Площадь трапеции можно рассчитать как произведение средней линии на высоту. На основании этого составляем уравнение:

Тогда сумма боковых сторон равна 2x = 17, а периметр трапеции равен 34 (сумма оснований равна сумме боковых сторон).

 

Ответ: 34.

 

 

Задача В4. Пусть (x, y) - решение системы уравнений 

Найдите значение выражения 5y - x.

 

Решение.

Преобразуем второе уравнение системы:

С учетом первого уравнения получаем:

Вычисляем значение выражения:

.

Ответ: 23.

 

 

Задача В5. Найдите значение выражения

.

 

Решение.

Замечание. Наиболее частые проблемы абитуриентов при решении таких примеров - это неумение избавляться от иррациональности в знаменателе путем домножения на сопряженное и незнание того, что порядок вычисления последовательных корней не имеет значения (например, ).

 

Ответ: -22.

 

 

Задача В6. Найдите сумму корней уравнения .

 

Решение.

Перед началом решения произносим магическую фразу: «Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю». После этого уравнение чудесным образом распадается на совокупность:

Первое уравнение совокупности имеет единственный корень x = 81.

Преобразуем второе уравнение:

Дальнейшее решение проводим с помощью замены переменной:

.

Получаем

(корни найдены с помощью обратной теоремы Виета).

Отрицательный корень нам не подходит, поэтому получаем

Значит, исходное уравнение имеет два корня: 1 и 81.

Их сумма равна 82.

 

Ответ: 82.

 

 

Задача В7. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если длина биссектрисы ее основания равна  и плоский угол при вершине равен .

 

Решение.

Пусть SABC – правильная треугольная пирамида.

Треугольник ABC – основание пирамиды, причем этот треугольник является правильным.

Биссектриса  и является также высотой треугольника АВС, поэтому

Площадь боковой поверхности правильной пирамид равна S = SK·p,

где

 - полупериметр основания;

 - апофема.

Тогда

S = 12·5 = 60.

 

Ответ: 60.

 

 

Задача В8. Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства

.

Решение.

Учитывая то, что логарифм – возрастающая функция, если его основание больше 1 и убывающая, если его основание меньше 1, а также то, что подлогарифменное выражение должно быть положительным, получаем:

Наименьшим целым решением является число -5, а наибольшим – число 65. Их сумма равна 60.

 

Ответ: 60.

 

 

Задача В9. Найдите (в градусах) сумму корней уравнения 10sin5x·cos5x + 5sin10x·co18x = 0 на промежутке (110°; 170°).

 

Решение.

С помощь формулы двойного аргумента преобразуем первое слагаемой левой части:

Так как из всех найденных корней нужно выбрать те из них, которые лежат на промежутке (110°; 170°), то

Выписываем соответствующие корни:

126°; 144°; 162°

130°; 150°.

Сумма найденных решений равна 712.

 

Ответ: 712.

 

 

Задача В10. Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства

.

 

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

Полученное в результате неравенство можно решить, например, методом интервалов. Для этого найдем сначала корни соответствующего уравнения:

Найденные корни нанесем на числовую ось. Эти корни разбивают выражение (|x + 5| - 4)(|x - 3| - 1) на интервалы знакопостоянства. Определим знак записанного выражения на каждом из интервалов, подставив любую точку из заданного интервала в выражение. Например для определения знака выражения на крайнем правом интервале возьмем точку x = 5 и получим, что значение выражения в этой точке положительно, а значит, выражение будет положительным и на всем интервале.

Теперь можем записать решение неравенства (соответствующая область заштрихована на рисунке):

.

Наименьшее целое число из этой области: x_min = -8, а наибольшее целое x_max = 3. Произведение этих чисел -8·3 = -24. Это число и следует записать в ответ.

 

Ответ: -24.

 

 

Задача В11. Точка А движется по периметру треугольника KMP. Точки K1, M1, P1 лежат на медианах треугольника KMP и делят их в отношении 11:3, считая от вершин. По периметру треугольника K1M1P1 движется точка В со скоростью, в пять раз большей, чем скорость точки А. Сколько раз точка В обойдет по периметру треугольник K1M1P1 за то время, за которое точка А два раза обойдет по периметру треугольник KMP.

 

Решение.

Сделаем чертеж к задаче. О – точка пересечения медиан исходного треугольника.

Интуитивно понятно, что треугольники KMP и K1M1P1 должны быть подобны. Однако интуиция лишь подсказывает путь решения задачи, поэтому подобие указанных треугольников нужно еще доказать.

Для доказательства подобия рассмотрим треугольники KOM и K1OM1.

MM’ – медиана треугольника KMP, поэтому , так как медианы треугольника делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Из условия задачи следует, что , так как точка M1 делит медианту MM’ в отношении 11 к 3, считая от вершины.

Тогда

.

Отношение

.

Аналогично можно показать, что

.

Кроме того,  как вертикальные.

Значит, треугольники KOM и K1OM1 подобны по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом подобия .

Тогда

.

Аналогично

.

Это значит, что треугольники KMP и K1M1P1 подобны с коэффициентом подобия  и периметр треугольника KMP  в  раз больше периметра треугольника K1M1P1.

Так как точка В движется со скоростью в 5 раз большей скорости точки А по треугольнику, периметр которого в  раз меньше, чем периметр треугольника KMР, то за время одного оборота точки А, точка В делает  оборотов, а за время двух оборотов точки А точка В сделает 56 оборотов.

 

Ответ: 56.

 

 

Задача В12. Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 1728. Точка Р лежит на боковом ребре CC1 так, что CP:PC1 = 2:1. Через точку Р, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольны параллелепипед на две части. Найти объем меньшей из частей.

 

Решение.

Изобразим параллелепипед на чертеже и построим описанное сечение PDKEF. K – середина ребра AA1.

Изобразим на чертеже линии, по которым плоскость сечения пересекает плоскости трех граней параллелепипеда. Точки, в которых плоскость сечения пересекает прямые BA, BC и BB1 обозначим через Z, Q, S.

Тело SZBQ - пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник ZBQ. Эта пирамида включает в себя объем нижней части параллелепипеда и объемы трех пирамидок SEB1F, QPCD, ZKAD.

Для нахождения объема нижней части параллелепипеда найдем объемы указанных пирамидок.

Для удобства вычислений обозначим стороны параллелепипеда через x, y и z, тогда объем параллелепипеда V = xyz = 1728.

Кроме того,

.

Задача состоит в выражении размеров указанных четырех пирамид через  x, y и z.

Треугольники FC1P и DAK подобны по двум углам (все стороны этих треугольников попарно параллельны).

Тогда

.

Треугольники PCD и KA1E также подобны, поэтому

.

Из подобия треугольников SB1F и PC1F следует:

.

Объем пирамиды SEB1F равен:

.

Пирамида QPCD подобна пирамиде SEB1F с коэффициентом подобия:

.

Тогда объем пирамиды QPCD равен:

.

Аналогично пирамида ZKAD подобна пирамиде SEB1F с коэффициентом подобия

.

Тогда объем пирамиды ZKAD равен:

.

Наконец, пирамида SZBQ подобна пирамиде SEB1F с коэффициентом подобия

.

Тогда объем пирамиды SZBQ равен:

.

Объем нижней части параллелепипеда:

.

Тогда объем верхней части:

.

Так как нам нужен меньший объем, то правильный ответ 724.

 

Ответ: 724.