Решение задач из ЦТ по физике за 2017 г.

Подписывайтесь на нашу группу ВКонтакте https://vk.com/7grans и в Facebook https://www.facebook.com/7gran

Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей

 

Вариант 1

Часть В

Задача В1. С башни в горизонтальном направлении бросили камень с начальной скоростью, модуль которой . Если непосредственно перед падением на землю скорость камня была направлена под углом α = 45° к горизонту, то камень упал на расстоянии s от основания башни, равном … м.

 

Решение.

Рассмотрим момент падения камня на землю. Скорость камня в этот момент разложим на две составляющие: горизонтальную  и вертикальную .

Так как угол α = 45°, то модули этих векторов равны друг другу: V_x = V_y.

С другой стороны, горизонтальная составляющая скорости не изменяется во время полёта, так как сопротивление воздуха отсутствует. Значит V_x = v₀.

Таким образом, V_y = v₀.

Так как тело было брошено горизонтально, то начальное значение вертикальной составляющей скорости равно 0 и вертикальная составляющая скорости изменяется по закону:

V_y = gt,

где g – ускорение свободного падения, t – время.

Выражаем время падения:

За это время по горизонтали тело пролетит расстояние

 

Ответ: 40.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В2. Кинематический закон движения тела вдоль оси Ox имеет вид x(t) = A + Bt + Ct², где А = 2,0 м, , . Если модуль результирующей всех сил, приложенных к телу, F = 320 Н, то масса m тела равна … кг.

 

Решение.

Указанный в условии задачи закон движения описывает равноускоренное движение:

где a - ускорение движения.

Так как в нашем случае перед t² стоит коэффициент C, то

Это ускорение сообщается телу действующими на него силами, причем по второму закону Ньютона:

Отсюда

 

Ответ: 40.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В3. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты h = 17 м над поверхностью Земли. Если на высоте h₁ = 2,0 м кинетическая энергия тела E_k = 1,8 Дж, то масса m тела равна … г.

 

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии.

В начальный момент полная энергия тела – это потенциальная энергия на высоте h:

На высоте h₁ полная энергия тела равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:

По закону сохранения энергии должно быть:

Отсюда находим массу тела:

 

Ответ: 12.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В4. На рисунке представлены фотографии электромобиля, сделанные через равные промежутки времени ∆t = 1,8 с. Если электромобиль двигался прямолинейно и равноускоренно, то в момент времени, когда был сделан второй снимок, проекция скорости движения электромобиля v_x на ось Ox была равна … .

 

Решение.

Координату автомобиля будем определять по месту нахождения его переднего бампера, то есть в начальный момент времени автомобиль находится в начале координат и имеет скорость, равную v₁.

Запишем закон изменения координаты автомобиля при равноускоренном движении:

В момент времени ∆t координата автомобиля равна 4 м, а в момент времени 2∆t координата автомобиля равна 12 м. На основании этих данных составляем систему уравнений, из которой находим значения начальной скорости v₁ и ускорения a.

Второй снимок был сделан в момент времени ∆t, поэтому скорость в этот момент времени:

 

Ответ: 12.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В5. При нагревании одноатомного идеального газа средняя квадратичная скорость теплового движения его молекул увеличилась в n = 1,20 раза. Если начальная температура газа была t₁ = -14 °C, то конечная температура t₂ газа равна … °C.

 

Решение.

Абсолютная температура одноатомного газа прямо пропорциональна кинетической энергии движения его молекул, а значит, квадрату средней квадратичной скорости. Это значит, что если средняя квадратичная скорость теплового движения его молекул увеличилась в n раз, то абсолютная температура газа увеличилась в n² раз.

Начальная абсолютная температура газа в нашем случае:

После нагревания температура газа стала равной:

Или в градусах Цельсия:

 

Ответ: 100.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В6. В теплоизолированный сосуд, содержащий m₁ = 90 г льда  при температуре плавления t₁ = 0 °C, влили воду  массой m₂ = 55 г при температуре t₂ = 40 °C. После установления теплового равновесия масса m₃ льда в сосуде станет равной … г.

 

Решение.

При добавлении воды в стакан со льдом возможны следующие ситуации:

1. Вода полностью растопит лёд и, возможно, даже подогреет его, то есть в сосуде будет только вода с температурой  0 °C или выше.
2. Вода полностью охладится до 0 °C, а часть льда при этом растает.

Для того, чтобы понять, что произошло в нашем случае, нужно сравнить количества теплоты, необходимые для охлаждения всей воды и для таяния всего льда.

При таянии льда поглощается количество теплоты, равное:

При охлаждении воды до температуры замерзания выделяется количество теплоты, равное:

Так как Q₁  >  Q₂, то энергии, выделяемой при охлаждении воды до точки замерзания, не хватит для расплавления всего льда, а значит, в нашем случае реализуется сценарий №2.

Энергии Q₂, выделяемой при охлаждении воды хватит, чтобы расплавить массу льда:

Масса оставшегося льда:

 

Ответ: 62.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

 

Задача В7. В вертикальном цилиндрическом сосуде, закрытом снизу легкоподвижным поршнем массой m = 10 кг и площадью поперечного сечения S = 40 см², содержится идеальный одноатомный газ. Сосуд находится в воздухе, атмосферное давление которого p₀ = 100 кПа. Если при изобарном нагревании газу сообщить количество теплоты Q = 225 Дж, то поршень переместится на расстояние |∆h|, равное … см.

 

Решение.

Определим давление газа. Для этого учтём, что, так как поршень находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на него, равна нулю.

На поршень действуют сила тяжести mg, сила давления атмосферы p₀S (направлена вверх) и сила давления газа в сосуде, равная pS (направлена вниз), где p – давление газа в сосуде.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для поршня в проекциях на ось Y:

Из полученного выражения видно, что давление газа в сосуде не зависит от положения поршня и температуры газа. Именно поэтому процесс и является изобарным.

Запишем для газа в сосуде уравнение первого начала термодинамики:

Q = ∆U + p∆V,

где Q – сообщённое газу количество теплоты, ∆U – изменение внутренней энергии газа, p∆V – работа, совершённая газом, ∆V – изменение объёма газа.

Изменение внутренней энергии для идеального одноатомного газа определяется по формуле:

где T₁ и T₂ – температуры газа в начале и в конце нагревания соответственно.

Если V₁ и V₂ – объёмы газа в начале и в конце нагревания, то на основании уравнения Менделеева-Клапейрона:

pV₁ = vRT₁,

pV₂ = vRT₂.

Вычитая первое уравнение из второго, получим:

vR(T₂-T₁) = p(V₂-V₁) = p∆V.

Тогда уравнение первого начала термодинамики примет вид:

Изменение объёма газа равно объёму цилиндра, который образовался при смещении поршня (см. рис.):

∆V = S∆h.

Тогда

 

Ответ: 30.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В8. Из ядерного реактора извлекли образец, содержащий радиоактивный изотоп с периодом полураспада T_1/2 = 8,0 суток. Если в течение промежутка времени ∆t масса этого изотопа в образце уменьшилась от m₀ = 96 мг до m = 24 мг, то длительность промежутка времени ∆t составила … сутки(-ок).

 

Решение.

Период полураспада – это промежуток времени, за который распадается половина имеющегося радиоактивного вещества. Так, если изначально масса изотопа была равна 96 мг, то через 8 суток, масса изотопа будет уже 48 мг (половина распалась). А ещё через 8 суток масса изотопа снова уменьшится в два раза, то есть станет равной 24 мг.

Таким образом, масса изотопа уменьшается от 96 до 24 мг за 16 суток.

 

Ответ: 16.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В9. Два находящихся в вакууме маленьких заряженных шарика массой m = 27 мг каждый подвешены в одной точке на лёгких шёлковых нитях одинаковой длины l = 20 см. Шарики разошлись так, что угол между нитями составил α = 90°. Если заряд первого шарика q₁ = 40 нКл, то заряд второго шарика q₂ равен … нКл.

 

Решение.

На каждый шарик действуют силы тяжести, натяжения нити и кулоновская сила отталкивания. На рисунке изображены только силы, действующие на шарик 2.

Шарики отклоняются от вертикали на одинаковые углы, то есть симметрично друг другу. Действительно, так как массы шариков одинаковы, то и силы тяжести, действующие на оба шарика, будут равны. Силы кулоновского отталкивания также равны по третьему закону Ньютона. Следовательно, на каждый шарик действуют одинаковые наборы сил, что и обеспечивает их симметричное отклонение.

Симметрия задачи очень упрощает решение, однако, такая симметрия будет возникать не во всех подобных задачах. Например, если бы в нашем случае массы шаров были различны, то шары отклонились бы от вертикали на разные углы и решение задачи заметно бы усложнилось.

Рассмотрим равновесия шара 2. Так как шар покоится, то сумма всех действующих на него сил равна нулю:

Спроектируем записанное векторное уравнение на оси системы координат:

Из записанных уравнений находим:

Поделим первое уравнение на второе:

С другой стороны, на основании закона Кулона:

Здесь  - расстояние между шарами.

Получаем уравнение:

 

Ответ: 60.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В10. Участок цепи, состоящий из четырёх резисторов (см. рис.), сопротивления которых R₁ = 10,0 Ом, R₂ = 20,0 Ом, R₃ = 30,0 Ом и R₄ = 40,0 Ом, подключён к источнику тока с ЭДС ℰ = 20,0 В и внутренним сопротивлением r = 20,0 Ом. Тепловая мощность P₄, выделяемая на резисторе R₄, равна … мВт.

 

Решение.

Для решения задачи необходимо найти напряжение (или ток) на резисторе R₄. Для расчёта разветвлённых цепей постоянного тока удобно пользоваться методом свёртывания. Подробно этот метод был рассмотрен при решении задачи B9 из ЦТ за 2014 год.

Для начала найдём общее сопротивление цепи.

Сопротивление параллельно соединённых резисторов 1 и 4 равно:

Сопротивление параллельно соединённых резисторов 2 и 3 равно:

Группы резисторов R₁₄ и R₂₃ соединены между собой последовательно. Их общее сопротивление:

Общий ток в цепи находим по закону Ома для полной цепи:

Зная ток в цепи и используя закон Ома для участка цепи, можем найти напряжение на параллельно соединённых резисторах 1 и 4 (напомним, что на параллельно соединённых элементах, напряжение одинаково):

Тогда мощность, выделяемая на резисторе 4, равна:

 

Ответ: 400.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В11. Короткий световой импульс, испущенный лазерным дальномером, отразился от объекта и был зарегистрирован этим же дальномером через промежуток времени ∆t = 0,50 мкс после испускания. Расстояние s от дальномера до объекта равно … м.

 

Решение.

Скорость распространения импульса равна скорости света с = 3∙10⁸ м/с. За время ∆t световой импульс проходит расстояние:

l = c∆t = 3∙10⁸∙0,50∙10^-6 = 1,5∙10² = 150 м.

Найденное расстояние – это удвоенное расстояние между дальномером и объектом, так как свет должен сначала достичь объекта, а затем вернуться к дальномеру, проделав один и тот же путь дважды: туда и обратно.

Тогда

 

Ответ: 75.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В12. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, ёмкости конденсаторов C₁ = 100 мкФ, С₂ = 300 мкФ, ЭДС источника тока ℰ = 60,0 В. Сопротивление резистора R₂ в два раза больше, чем сопротивление резистора R₁, то есть R₂ = 2R₁. В начальный момент времени ключ К замкнут и через резисторы протекает постоянный ток. Если внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало, то после размыкания ключа K в резисторе R₂ выделится количество теплоты Q₂, равное … мДж.

 

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии.

Рассмотрим цепь до размыкания ключа.

По цепи через оба резистора течёт ток. Конденсаторы на этот ток никак не влияют, так как для цепи постоянного тока являются разрывами. Таким образом, с точки зрения тока, цепь представляет собой два последовательно соединённых резистора (рис. 1)

Сила тока в цепи до размыкания ключа на основании закона Ома равна:

Конденсатор C₁ соединён параллельно с резистором 1, поэтому напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе и равно:

Конденсатор C₂ соединён параллельно с резистором 2, поэтому напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе и равно:

Энергия цепи до размыкания ключа равна энергии, запасённой в конденсаторах, и равна:

После размыкания ключа ток через резистор 1 мгновенно прекращается, так как ключ полностью отключает ветвь цепи, в которой находится резистор 1. Конденсаторы 1 и 2 для цепи постоянного тока представляют собой разрывы, поэтому за некоторый промежуток времени ток в цепи прекратится, а конденсатор 2 полностью разрядится (ведь в отсутствие тока напряжение на резисторе 2 равно нулю). Конденсатор 1 при этом зарядится до напряжения, равного ЭДС источника тока (рис. 2).

Энергия цепи будет сосредоточена в конденсаторе 1 и будет равна:

Как видим, энергия цепи уменьшилась на 80 мДж. На резисторе 1 энергия выделиться не могла, так как ветвь с этим резистором была отключена ключом, а значит, все эти 80 мДж выделились на резисторе 2. Однако это еще не вся картина энергетического баланса, ведь за время перезарядки конденсаторов источник тока совершил работу, добавив энергии в цепь, которая также выделилась на резисторе 2.

Рассчитаем работу, совершённую источником тока:

Заряд, прошедший через источник рассчитаем по изменению заряда конденсатора 1:

Тогда

Таким образом, на резисторе 2 выделилось количество теплоты, равное:

 

Ответ: 320.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.