Решение задач из ЦТ по математике за 2018 г.

Подписывайтесь на нашу группу ВКонтакте https://vk.com/7grans и в Facebook https://www.facebook.com/7gran

Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей

Вариант 1

Часть В

Задача В1. Функция задана формулой f(x)=x²­–10x–3 на множестве действительных чисел R. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.

Начало предложения	Окончание предложения
А) Сумма координат точки пересечения графика функции y=f(x) с осью Oy равна: Б) Сумма нулей функции y=f(x) равна: В) Если ось симметрии графика функции y=f(x) задается уравнением x=a, то значение a равно:	1) ­-3. 2) 3. 3) 5. 4) -10. 5) -5. 6) 10.

Ответ запишите в виде сочетания букв и цифр, соблюдая алфавитную последовательность букв левого столбца. Помните, что некоторые данные правого столбца могут использоваться несколько раз или не использоваться вообще. Например: А1Б1В4.

 

Решение.

А) Имеем квадратичную функцию. Графиком такой функции является парабола. Для всех точек оси Oy координата x равна 0. Для нахождения y-координаты подставим x=0 в формулу:

y(0)=0–0–3= -3.

Сумма координат: 0+(-3)=-3.

Ответ: 1.

 

Б) Дискриминант квадратного трехчлена x²­–10x–3 равен D=112>0, поэтому у функции y=f(x) два нуля. Их сумма по теореме Виета равна –(-10)=10.

Ответ: 6.

 

В) Графиком квадратичной функции является парабола. Ось симметрии параболы вертикальна и проходит через вершину параболы.

Найдем x координату вершины:

Таким образом, a=5.

Ответ: 3.

 

В ответ следует записать А1Б6В3.

 

Ответ: А1Б6В3.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В2. Выберите утверждения, которые являются свойствами функции y=f(x), заданной графиком на промежутке [-6;4] (см. рис.).

1	нулем функции является число -3
2	f(x)>0 при
3	функция возрастает на промежутке [2; 4]
4	наибольшее значение функции на промежутке [-6; 4] равно 2
5	график функции пересекает ось ординат в точке (0;-2)

Ответ запишите в виде последовательности цифр в порядке возрастания. Например: 12.

 

Решение.

1. Нули функции – это значения x, при которых функция обращается в ноль. По графику нули функции можно найти, определив, в каких местах график пересекает ось Ox. В нашем случае это точки x=-5, x=-2, x=3. Точки x=-3 среди них нет.

2. f(x)>0 на тех участках, на которых график функции проходит выше оси Ox. В нашем случае это два интервала: (-5; -2) и (3; 4). Таким образом, утверждение 2 является верным утверждением, ведь, действительно f(x)>0 при , несмотря на то, что есть еще один такой промежуток.

3. При движении по отрезку [2; 4] вдоль оси Ox соответствующая точка на графике функции движется вверх, то есть функция возрастает на этом отрезке и утверждение 3 является верным.

4. Это утверждение неверно, так как максимальное значение y, которое может достичь функция, равно 5. Это значение достигается при x=4.

5. Это утверждение неверно, так как точка пересечения графика с осью ординат имеет координаты (0; -3).

Таким образом, верными утверждениями являются утверждения 2 и 3.

 

Ответ: 23.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В3. В жилом доме «Альфа» 13% от общего числа квартир составляют однокомнатные, а в жилом доме «Омега» 61% от общего числа квартир – однокомнатные. Определите, во сколько раз больше общее количество квартир в жилом доме «Альфа», если 16% всех квартир в двух домах составляют однокомнатные.

 

Решение.

Пусть x – число однокомнатных квартир в доме «Альфа», а y – число однокомнатных квартир в доме «Омега».

Тогда, с одной стороны, общее число однокомнатных квартир в двух домах можно записать как 0.16(x+y) – 16% от общего числа квартир.

С другой стороны, то же самое число однокомнатных квартир можно представить так:

0.13x + 0.61y – это 13% общего числа квартир в доме «Альфа» и 61% общего числа квартир в доме «Омега».

Составим уравнение:

0.16(x+y) = 0.13x + 0.61y,

0.16x+0.16y = 0.13x + 0.61y,

0.03x = 0.45y,

3x = 45y,

x = 15y.

Таким образом, общее число квартир в доме «Альфа» в 15 раз больше, чем в доме «Омега».

 

Ответ: 15.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В4. Найдите сумму квадратов корней уравнения

 

Решение.

Вынесем 4 за скобки в правой части уравнения и проведем некоторые преобразования:

Произведение может быть равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей обращается в ноль, а другой при этом имеет смысл:

 

Не забудем также учесть ОДЗ:

Корни квадратного уравнения:  

Решаем второе уравнение из совокупности:

Из трех найденных корней корень -4 не подходит по ОДЗ.

Находим сумму квадратов корней:

2²+15²=229.

 

Ответ: 229.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В5. Градусная мера угла правильного многоугольника равна 150°, а длина его стороны равна 6. Найдите периметр многоугольника.

 

Решение.

Так как многоугольник правильный, то длины всех его сторон равны. Таким образом, задача сводится к нахождению числа этих сторон.

Пусть n – число сторон многоугольника.

Сумма внутренних углов многоугольника с одной стороны равна 180(n-2), а с другой 150n, так как угол многоугольника равен 150°.

Составляем уравнение:

180(n-2) = 150n,

180n-360 = 150n,

30n = 360,

n = 12.

Тогда периметр многоугольника равен:

 

Ответ: 72.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В6. Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства 

 

Решение.

Как обычно, решение сложных неравенств и уравнений начинаем с ОДЗ:

Заметим, что отдельно записывать  не нужно, так как это требование автоматически выполнится при решении неравенства методом интервалов.

Приведем неравенство, описывающее ОДЗ, в удобную для решения форму. Для этого обе части умножим на -1 – изменится знак в числителе левой части, а также знак неравенства изменится на противоположный.

На числовой оси расставляем нули числителя и знаменателя, а также знаки выражения, стоящего в левой части.

Теперь переходим к решению самого неравенства

Так как основание логарифмов меньше 1, то

Находим решение с помощью метода интервалов и на одном чертеже изображаем ОДЗ и полученное решение.

Решение неравенства находится на пересечении указанных областей:

Наименьшее целое решение неравенства -4, а наибольшее 8. Их произведение равно -32. Это число и записываем в ответ.

 

Ответ: -32.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В7. О натуральных числах a и b известно, что a > b, a + b = 85, НОК(a, b) = 102. Найдите число b.

 

Решение.

Задачу будем решать методом перебора. Суть метода заключается в том, чтобы перебрать все возможные варианты и выбрать из них тот, который удовлетворяет условию задачи.

Для того, чтобы не проверять все возможные числа, лучше оптимизировать перебор. Для этого учтём, что так как число 102 – наименьшее общее кратное a и b, то число 102 должно делиться как на число a, так и на число b, а значит, и число a, и число b должны содержать только те простые множители, которые содержатся в числе 102. Чтобы понять, какие это множители, разложим 102 на простые множители:

102 = 2·3·17.

Кандидатами в числа a и b являются любые комбинации полученных множителей, а также число 1. Выпишем эти комбинации:

1, 2, 3, 17, 2·3 = 6, 2·17 = 34, 3·17 = 51, 2·3·17 = 102.

Полученный набор чисел следует понимать так: если НОК(a, b) = 102, то и a, и b обязательно будут находиться в приведенном наборе. Например, НОК(51, 6) = 102 и числа 51 и 6 есть в нашем наборе. Однако не для каждой пары чисел из набора НОК равно 102. Например, НОК(2, 17) = 34 и не равно 102.

Из условия известно, что сумма чисел равна 85. Значит этими числами могут быть только 51 и 34, а так как a > b, то число b = 34.

 

Ответ: 34.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В8. Найдите увеличенное в 6 раз произведение корней уравнения

 

 

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

Отсюда

Получили биквадратное уравнение.

Решив это уравнение относительно x², получим:

 

Второе уравнение, очевидно, решений не имеет, а корнями первого уравнения являются числа:

Их произведение равно -3. Увеличив это число в 6 раз, получаем -18.

 

Ответ: -18.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В9. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD, длина стороны которого равна 1. Боковое ребро SB пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 3. Найдите значение выражения , где  - линейный угол двугранного угла при боковом ребре SD.

 

Решение.

Любую геометрическую задачу следует начинать с чертежа. Изобразим пирамиду SABCD.

По условию нужно найти линейный угол двугранного угла при ребре SD. Сложность задач на двугранные углы заключается в том, что не всегда удаётся сразу понять, какой именно угол на рисунке является линейным углом двугранного угла.

В нашем случае на рисунке этого угла нет и его необходимо построить. Для построения рассмотрим треугольник SCD и проведем в этом треугольнике высоту из вершины С. Таким же образом в треугольнике SAD проведем высоту из вершины А. Докажем, что основания высот – это одна и та же точка Е!

Треугольник SCD прямоугольный с прямым углом С. Действительно, SB – перпендикуляр, SC – наклонная, BC – проекция, CD перпендикулярна CB как стороны квадрата, а значит, СD перпендикулярна и наклонной SC по теореме о трёх перпендикулярах.

Аналогично, треугольник SAD прямоугольный с прямым углом А.

Оба названных треугольника равны по катету и гипотенузе (AD = CD = 1, гипотенуза SD – общая).

Из равенства треугольников и следует то, что их высоты имеют общее основание: это соответственные высоты равных треугольников, а значит, проходят через одну и ту же точку стороны SD.

Таким образом, угол CEA – линейный угол двугранного угла.

 

Замечание. Конечно, для решения такой задачи на ЦТ ничего доказывать не нужно, ведь в ЦТ требуется только записать ответ. Однако в процессе решения вы можете не сообразить сразу, где же этот линейный угол, или по ошибке увидеть его не там, где он есть на самом деле, так как пространственные чертежи могут быть весьма обманчивыми. В таком случае доказательство поможет вам убедиться в верности своих догадок или, наоборот, опровергнуть ложные соображения.

 

Дальнейшее решение задачи будет состоять в том, чтобы найти все стороны треугольника CEA и с помощью теоремы косинусов вычислить .

Так как AC – диагональ квадрата со стороной 1, то .

Для нахождения CE применим метод площадей к треугольнику SCD. Суть метода состоит в том, чтобы записать площадь одной и той же фигуры двумя разными способами и выразить необходимую величину из записанного уравнения.

Для начала найдем неизвестные стороны треугольника SCD.

  (теорема Пифагора для треугольника SBC).

 (теорема Пифагора для треугольника SCD).

Площадь прямоугольного треугольника SCD, с одной стороны равна:

 

С другой стороны, эта же площадь равна:

 

Тогда

Аналогично,

 

Запишем теорему косинусов для треугольника CEА:

 

В ответ записываем

 

Ответ: -130.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В10. Найдите сумму целых решений неравенства

 

Решение.

Это обычное рациональное неравенство.

Решение таких неравенств проще всего проводить по следующей схеме.

Сначала умножим обе части неравенства на -1, и внесем знак «-» слева в знаменатель. При этом не забудем изменить знак неравенства:

Далее, в двучлене, в числителе поменяем знак. Так как двучлен стоит под квадратом, то такая замена ни на что не повлияет:

Теперь разложим на множители квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе:

Сокращать двучлен (x+3) в числителе и знаменателе не нужно, так как при таком сокращении можно забыть выколоть точку -3.

На числовую ось наносим нули числителя и знаменателя и расставляем знаки выражения из левой части неравенства.

Выписываем целые решения: 3, 4, 6.

Их сумма равна 13. Это число и записываем в бланк.

 

Ответ: 13.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В11. От пристани В отплывает плот и одновременно против течения реки отходит катер. Доплыв до пристани А, находящейся на расстоянии s₁ от пристани В, катер разворачивается и плывет к пристани С, находящейся на расстоянии s₂ вниз по течению реки от пристани В. Найдите наибольшее возможное значение скорости катера (в км/ч) в стоячей воде, при движении с которой он прибудет к пристани С не раньше, чем плот, если скорость течения реки равна 4 км/ч, а s₁:s₂ = 7:2.

 

Решение.

Сделаем поясняющий чертёж к условию задачи.

Прежде, чем что-то решать, необходимо разобраться в вопросе задачи. Он сформулирован достаточно громоздко и при чтении условия не сразу ясно, что же нужно найти. Идея здесь такая: если катер движется очень быстро, то он успеет и от В до А против течения дойти, и к пристани С раньше плота причалить. Получается, что существует какое-то значение собственной скорости катера x, при которой он к пристани С причаливает одновременно с плотом. Если собственная скорость катера больше x, то катер причалит раньше плота, а если меньше x, то причалит позже. Вот эту скорость x и нужно найти.

Так как плот движется со скоростью течения, то время путешествия плота из В в С равно:

 

Время путешествия катера из В в А, а потом в С равно:

Здесь мы учли, что от В к А катер идёт против течения, а от А к С по течению.

Так как оба этих времени должны быть равны друг другу, то можем составить уравнение:

 

Из условия задачи следует, что 2s₁ = 7s₂. Домножим обе части записанного выше уравнения на 2 и заменим 2s₁ на 7s₂:

Первый корень говорит нам о том, что если у катера не будет собственной скорости, то он придёт в С одновременно с плотом, что логично, ведь в этом случае катер будет просто сплавляться по течению вместе с плотом. Однако при таком раскладе до пункта А катер не дойдёт.

Значит, собственная скорость катера 32 км/ч.

 

Ответ: 32.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.

 

Задача В12. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена медиана CM в треугольнике SBC и даны . Через середину K ребра SC проведена прямая KD, параллельная ребру AB. Через точку А проведена прямая, пересекающая прямые CM и KD в точках P и T соответственно. Найдите увеличенную в 18 раз длину отрезка PT.

 

Решение.

Сделаем чертёж к условию задачи (рис. 1).

Отметим важные моменты, которые следуют из условия задачи.

1. Прямая KD лежит в плоскости AKB, так как KD || AB, и точка K лежит в плоскости AKB. Значит, прямая AT также лежит в указанной плоскости, ведь по условию точка T лежит на KD.
2. Плоскость AKB пересекает грани пирамиды по медианам AK и BK, так как K – середина SC. Значит точка P лежит одновременно и на медиане CM, и на медиане BK. То есть точка P­ – точка пересечения медиан треугольника CSB.

Изобразим отдельно плоскость AKB со всеми необходимыми точками (рис. 2).

Теперь задача из стереометрической превратилась в планиметрическую.

Найдём медиану BK треугольника CSB (рис. 3). Проще всего это сделать, если достроить треугольник до параллелограмма и вспомнить, что в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.

Учтём также, что так как пирамида правильная, то треугольник CSB – равнобедренный.

В нашем случае получаем:

 

Возвращаемся к рисунку 2.

Отрезок PT будем искать из треугольника PKT.

Треугольники PKT и PBA подобны по двум углам ( как вертикальные), причем коэффициент подобия равен 2, так как P – точка пересечения медиан в треугольнике CSB, а медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Тогда

 

Осталось найти угол  и тогда, по теореме косинусов можно будет найти PT.

Треугольник AKB равнобедренный, (AK=KB как соответственные медианы равных граней пирамиды). Проведем в этом треугольнике высоту BH и найдём косинус угла KBH.

 

Тогда

 

В ответ записываем

 

 

Ответ: 45.

 

По всем вопросам, связанным с решением задачи, а также по вопросам репетиторства пишите автору, Антону Лебедеву.